
\newcommand{\real}{\hbox{\bf R}}


\begin{center}
\bf Laboratorio de M\'etodos Num\'ericos - Primer cuatrimestre 2012 \\[5pt]
\bf Trabajo Pr\'actico N\'umero 3 %Cuando pase el temblor ... \\
\end{center}

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El trabajo pr\'actico consiste en evaluar la resistencia s\'\i smica de un
edificio de varios pisos que funciona como estacionamiento, proponiendo un plan de
reubicaci\'on de los veh\'iculos lo m\'as eficiente posible.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[height=0.25\textheight]{figura1.eps}
\caption{Modelo del edificio}
\end{figure}

\textbf{El modelo}

Consideremos un edificio de $n$ pisos como el de la Figura~1. Un modelo sencillo
para estudiar el efecto de un terremoto sobre el edificio consiste en
considerar cada piso $i=1,\dots,n$ como un bloque de masa $m_i$, unido a los
pisos adyacentes por medio de un conector el\'astico cuya acci\'on se parece
a la de un resorte. Para $i=0,\dots,n-1$, la uni\'on entre los pisos $i$ e
$i+1$ suministra una fuerza de restituci\'on
\begin{displaymath}
F_i\ =\ k_i (x_{i+1}-x_i),
\end{displaymath}
donde $x_i(t)\colon \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ representa el desplazamiento
horizontal del $i$-\'esimo piso en cada instante con respecto al suelo (asumimos que $i=0$ corresponde
al suelo y que $x_0=0$), y los $k_i\in\mathbb{R}_+$ representan los coeficientes
de rigidez. Aplicando la segunda ley de Newton del movimiento %$F = ma$ 
a cada secci\'on del edificio ($m_i\, a_i = F_i-F_{i-1}$, con $a_i$ la aceleraci\'on, que escribiremos como la derivada segunda de $x_i$), 
obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
\begin{eqnarray*}
m_1 \ddot{x}_1 & = & -k_0 x_1 + k_1 (x_2-x_1) \nonumber \\
m_2 \ddot{x}_2 & = & -k_1 (x_2-x_1) + k_2 (x_3-x_2) \nonumber \\
m_3 \ddot{x}_3 & = & -k_2 (x_3-x_2) + k_3 (x_4-x_3) \nonumber \\
\vdots &  & \vdots \nonumber \\
m_n \ddot{x}_n & = & -k_{n-1} (x_n-x_{n-1}) \nonumber \\
\end{eqnarray*}
Escrito en forma matricial, este
sistema toma la forma $M\ddot{\mathbf{x}} = K\mathbf{x}$, 
donde $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es una matriz
diagonal con las masas de los pisos y $K\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es una matriz
tridiagonal con los coeficientes de rigidez adecuados. Como $m_i>0$ para
$i=1,\dots,n$, entonces $M$ tiene inversa y el sistema se puede reescribir
como $\ddot{\mathbf{x}} = (M^{-1} K) \mathbf{x} = A\mathbf{x}$, donde $A = M^{-1} K$ tiene autovalores negativos.

Sean $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ los autovalores de $A$. Los valores
$\omega_i=\sqrt{-\lambda_i}$, para $i=1,\dots,n$, representan las frecuencias
naturales del sistema, e indican la estabilidad del edificio durante un
terremoto. Si la frecuencia del sismo es muy pr\'oxima a alguna de estas
frecuencias, hay riesgo de que el edificio entre en resonancia y colapse.

\textbf{El problema}

Nos encontramos en el 
estacionamiento de una importante concesionaria de autom\' oviles de una reconocida marca,
% dep\'osito de lavarropas de una conocida casa de electrodom\'esticos, 
y se avecina un terremoto sobre nuestra ciudad. 
Contamos con informaci\'on fidedigna provista por nuestro
informante en el Departamento de Geolog\'\i a de la FCEyN 
de que la frecuencia del terremoto ser\'a $\omega = 3\ \hbox{Hz}
= 3 \frac{1}{\hbox{seg}}$.

Para realizar c\'alculos simplificados podemos asumir que todos los autos 
se pueden agrupar en 2 categor\'ias: livianos, de masa $m_l$, y pesados, 
de masa $m_p > m_l$.
Adem\'as, $m_0$ es la masa propia del edificio correspondiente a cada piso.
De esta forma, si el piso $i$ tiene $l_i$ veh\'\i culos livianos y 
$p_i$ veh\'\i culos pesados, entonces su masa es $m_i = m_0 + l_i m_l + p_i m_p$. 
El problema que debemos resolver -y r\'apidamente- consiste en determinar
cu\'antos autos livianos y pesados debemos quitar de cada piso 
(reubic\'andolos en otros pisos) para que ninguna de las frecuencias 
naturales del edificio se encuentre a menos del 10\% de la frecuencia 
$\omega$ del terremoto.
La soluci\'on \'optima del problema es aquella que permite evitar que el
edificio colapse, reubicando la menor cantidad posible de autom\'oviles.

\textbf{El enunciado}

El trabajo pr\'actico consiste en implementar un programa que permita 
resolver este problema. La soluci\'on propuesta debe indicar cu\'antos 
autos livianos y cu\'antos pesados quitar de cada piso, y a qu\'e pisos 
se deben llevarlos. 

Deben proponerse (por lo menos) dos m\'etodos (es v\'alido que sean 
heur\'\i sticos) para obtener el plan de reubicaci\'on. El informe 
deber\'a contener los resultados de los experimentos realizados para
compararlos y evaluar cu\'al es mejor. 

El programa debe incluir una implementaci\'on de
alg\'un algoritmo para calcular los autovalores de una matriz cuadrada, que
deber\'a ser utilizado durante el proceso de decisi\'on. Sugerimos implementar
el algoritmo QR para el c\'alculo de autovalores. El programa debe tomar los
datos desde un archivo de texto con el siguiente formato:
\begin{eqnarray}
 & & n\ m_0\ m_l\ m_p \nonumber \\
 & & k_0\ k_1\ \dots\ k_{n-1} \nonumber \\
 & & l_1\ l_2\ \dots\ l_n \nonumber \\
 & & p_1\ p_2\ \dots\ p_n \nonumber
\end{eqnarray}
Se debe retornar la soluci\'on propuesta con este mismo formato.

El programa que obtenga la mejor redistribuci\'on de autom\'oviles se har\'a
acreedor a la medalla \emph{M\'etodos Num\'ericos 2012} al Mejor Redistribuidor Vehicular.

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{\bf \underline{Entrega Final}}
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\begin{description}
  \setlength{\itemsep}{0pt}
  \setlength{\parskip}{0pt}
  \setlength{\parsep}{0pt}
 \item[Formato Electr\'onico:] jueves 28 de junio de 2012, hasta las 23:59 hs, a la direcci\'on: 

  {\emph{metnum.lab@gmail.com}}
%  \item[Formato f\'isico y experimentación en clase:] 13 de abril de 2012, de 17 a 21 hs.
 \item[Formato f\'isico:] viernes 29 de junio de 2012, de 17 a 19 hs.
 \item[Competencia entre grupos:] viernes 29 de junio de 2012, 19 hs.
 \item[Entrega de premios:] viernes 29 de junio de 2012, 20:30 hs.
\end{description}




